题目内容
如图,已知A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,3),⊙C的圆心坐标为(3,0),并与x轴交于坐标原点O.若E是⊙C上的一个动点,线段AE与y轴交于点D.
(1)线段AE长度的最小值是 ,最大值是 ;
(2)当点E运动到点E1和点E2时,线段AE所在的直线与⊙C相切,求由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积;
(3)求出△ABD的最大值和最小值.
(1)线段AE长度的最小值是
(2)当点E运动到点E1和点E2时,线段AE所在的直线与⊙C相切,求由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积;
(3)求出△ABD的最大值和最小值.
考点:圆的综合题
专题:几何综合题
分析:(1)根据动点E在x轴上时,AE取得最小值与最大值解答;
(2)连接CE1、CE2,根据圆的切线的定义可得CE1⊥AE1,CE2⊥AE2,解直角三角形求出∠ACE1=60°,过点E1作E1F⊥x轴于F,利用∠ACE1的正弦求出E1F,然后利用三角形的面积求出△ACE1的面积,同理可得△ACE2的面积,再根据由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积-扇形CE1E2的面积,然后列式计算即可得解;
(3)根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO=30°,利用∠DAO的正切值求出OD的长度,根据三角形的面积,点D在y轴负半轴时,△ABD的面积取得最大值,在y轴正半轴时,△ABD的面积取得最小值,然后进行计算即可得解,
(2)连接CE1、CE2,根据圆的切线的定义可得CE1⊥AE1,CE2⊥AE2,解直角三角形求出∠ACE1=60°,过点E1作E1F⊥x轴于F,利用∠ACE1的正弦求出E1F,然后利用三角形的面积求出△ACE1的面积,同理可得△ACE2的面积,再根据由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积-扇形CE1E2的面积,然后列式计算即可得解;
(3)根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO=30°,利用∠DAO的正切值求出OD的长度,根据三角形的面积,点D在y轴负半轴时,△ABD的面积取得最大值,在y轴正半轴时,△ABD的面积取得最小值,然后进行计算即可得解,
解答:解:(1)∵A(-3,0),
∴OA=3,
∵⊙C的圆心坐标为(3,0),并与x轴交于坐标原点O,
∴⊙C的半径为3,
∴AE长度的最小值为3,最大值为3+3×2=9;
故答案为:3,9;
(2)如图,连接CE1、CE2,
∵点E运动到点E1和点E2时,线段AE所在的直线与⊙C相切,
∴CE1⊥AE1,CE2⊥AE2,
∵cos∠ACE1=
=
=
,
∴∠ACE1=60°,
过点E1作E1F⊥x轴于F,则E1F=CE1•sin60°=3×sin60°=3×
=
,
∴△ACE1的面积=
AC•E1F=
×6×
=
,
同理可得,△ACE2的面积=
,
∴四边形AE1CE2的面积=△ACE1的面积+△ACE2的面积=
+
=9
,
由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积-扇形CE1E2的面积,
=9
-
,
=9
-3π;
(3)∵∠ACE1=60°,
∴∠DAO=90°-ACE1=90°-60°=30°,
∴OD=AO•tan∠DAO=3tan30°=3×
=
,
∵点A到BD的距离为OA的长度,不变,
∴点D在y轴负半轴时,△ABD的面积取得最大值,
此时BD=OB+OD=3+
,
最大面积为:
×(3+
)×3=
,
在y轴正半轴时,△ABD的面积取得最小值,
时BD=OB-OD=3-
,
最小面积为:
×(3-
)×3=
.
∴OA=3,
∵⊙C的圆心坐标为(3,0),并与x轴交于坐标原点O,
∴⊙C的半径为3,
∴AE长度的最小值为3,最大值为3+3×2=9;
故答案为:3,9;
(2)如图,连接CE1、CE2,
∵点E运动到点E1和点E2时,线段AE所在的直线与⊙C相切,
∴CE1⊥AE1,CE2⊥AE2,
∵cos∠ACE1=
CE1 |
AC |
3 |
3+3 |
1 |
2 |
∴∠ACE1=60°,
过点E1作E1F⊥x轴于F,则E1F=CE1•sin60°=3×sin60°=3×
| ||
2 |
3
| ||
2 |
∴△ACE1的面积=
1 |
2 |
1 |
2 |
3
| ||
2 |
9
| ||
2 |
同理可得,△ACE2的面积=
9
| ||
2 |
∴四边形AE1CE2的面积=△ACE1的面积+△ACE2的面积=
9
| ||
2 |
9
| ||
2 |
3 |
由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积-扇形CE1E2的面积,
=9
3 |
(60+60)•π•32 |
360 |
=9
3 |
(3)∵∠ACE1=60°,
∴∠DAO=90°-ACE1=90°-60°=30°,
∴OD=AO•tan∠DAO=3tan30°=3×
| ||
3 |
3 |
∵点A到BD的距离为OA的长度,不变,
∴点D在y轴负半轴时,△ABD的面积取得最大值,
此时BD=OB+OD=3+
3 |
最大面积为:
1 |
2 |
3 |
9+3
| ||
2 |
在y轴正半轴时,△ABD的面积取得最小值,
时BD=OB-OD=3-
3 |
最小面积为:
1 |
2 |
3 |
9-3
| ||
2 |
点评:本题是圆的综合题型,主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题,圆的切线问题,解直角三角形,以及三角形的面积,综合题,但难度不大,(1)(3)确定出最大值与最小值时的点E的位置是解题的关键,(2)根据对称性求出四边形的面积,并表示出围成图形的表示是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目
下列各组三条线段,能组成三角形的是( )
A、1,4,5 | ||||
B、2,2,5 | ||||
C、3,4,5 | ||||
D、2
|
如图,E为?ABCD外一点,且EB⊥BC,ED⊥CD,若∠E=65°,则∠A的度数为( )
A、65° | B、100° |
C、115° | D、135° |