Question

阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式，例如由图a可以得到a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）．请回答下列问题：

（1）写出图b中所表示的数学等式是

2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）

．
（2）试画出一个长方形，使得用不同的方法计算它的面积时，能得到2a²+3ab+b²=（2a+b）（a+b）．
（3）课本68页练一练，有一题：如图c，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的多少表示）

4xy=（x+y）²-（x-y）²

．
（4）通过上述的等量关系，我们可知：
当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越

大

（填“大”或“小”）．
当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越

小

（填“大”或“小”）．
（5）利用上面得出的结论，对于正数x，求：
代数式：2x+

2

x

的最小值是

4

；
代数式：x（6-x）的最大值是

9

．

Answer 1

分析：（1）图b面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为a+2b的矩形面积求出，也可以由两个边长为a与边长为b的两正方形，及4个长为a，宽为b的矩形面积之和求出，表示即可；
（2）根据题意画出相应的图形，如图所示；
（3）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；
（4）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4xy=（x+y）²-（x-y）²，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；
（5）利用上述的结论可得出所求的最大值及最小值．

解答：解：（1）2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）；

（2）根据题意画出图形，如图所示：


（3）4xy=（x+y）²-（x-y）²；

（4）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；
当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小；

（5）2x+

2

x

的最小值是4；x（6-x）的最大值是9．
故答案为：（1）2a²+5ab+2b²=（2a+b）（a+2b）；（3）4xy=（x+y）²-（x-y）²；（4）大；小；（5）4；9

点评：此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．