Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

 

Answer 1

 

（1）y＝x2-1.

（2）直线l与⊙A相切

（3）

解析:（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.

设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得

    解得

∴这条抛物线的解析式为y＝x2-1.

设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得

   解得

∴这条直线的解析式为y＝-x+1.

（2）依题意，OA=即⊙A的半径为5.

而圆心到直线l的距离为3+2=5.

即圆心到直线l的距离=⊙A的半径，

∴直线l与⊙A相切.

（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）.

由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-）此时四边形PDOC为梯形，面积为.