题目内容
(2012•天门)如图,线段AC=n+1(其中n为正整数),点B在线段AC上,在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时,△AME的面积记为S1;当AB=2时,△AME的面积记为S2;当AB=3时,△AME的面积记为S3;…当AB=n时,△AME的面积记为Sn.当n≥2时,Sn-Sn-1=
.
2n-1 |
2 |
2n-1 |
2 |
分析:方法一:根据连接BE,则BE∥AM,利用△AME的面积=△AMB的面积即可得出Sn=
n2,Sn-1=
(n-1)2=
n2-n+
,即可得出答案.
方法二:根据题意得出图象,根据当AB=n时,BC=1,得出Sn=S矩形ACQN-S△ACE-S△MQE-S△ANM,得出S与n的关系,进而得出当AB=n-1时,BC=2,Sn-1=
n2-n+
,即可得出Sn-Sn-1的值.
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方法二:根据题意得出图象,根据当AB=n时,BC=1,得出Sn=S矩形ACQN-S△ACE-S△MQE-S△ANM,得出S与n的关系,进而得出当AB=n-1时,BC=2,Sn-1=
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解答:解:方法一:连接BE.
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,
∴BE∥AM,
∴△AME与△AMB同底等高,
∴△AME的面积=△AMB的面积,
∴当AB=n时,△AME的面积记为Sn=
n2,
Sn-1=
(n-1)2=
n2-n+
,
∴当n≥2时,Sn-Sn-1=
,
方法二:如图所示:延长CE与NM,交于点Q,
∵线段AC=n+1(其中n为正整数),
∴当AB=n时,BC=1,
∴当△AME的面积记为:
Sn=S矩形ACQN-S△ACE-S△MQE-S△ANM,
=n(n+1)-
×1×(n+1)-
×1×(n-1)-
×n×n,
=
n2,
当AB=n-1时,BC=2,
∴当△AME的面积记为:
Sn-1=S矩形ACQN-S△ACE-S△MQE-S△ANM,
=(n+1)(n-1)-
×2×(n+1)-
×2×(n-3)-
×(n-1)(n-1),
=
n2-n+
,
∴当n≥2时,Sn-Sn-1=
n2-(
n2-n+
)=n-
=
.
故答案为:
.
∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,
∴BE∥AM,
∴△AME与△AMB同底等高,
∴△AME的面积=△AMB的面积,
∴当AB=n时,△AME的面积记为Sn=
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Sn-1=
1 |
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1 |
2 |
∴当n≥2时,Sn-Sn-1=
2n-1 |
2 |
方法二:如图所示:延长CE与NM,交于点Q,
∵线段AC=n+1(其中n为正整数),
∴当AB=n时,BC=1,
∴当△AME的面积记为:
Sn=S矩形ACQN-S△ACE-S△MQE-S△ANM,
=n(n+1)-
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=
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当AB=n-1时,BC=2,
∴当△AME的面积记为:
Sn-1=S矩形ACQN-S△ACE-S△MQE-S△ANM,
=(n+1)(n-1)-
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∴当n≥2时,Sn-Sn-1=
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故答案为:
2n-1 |
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点评:此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质,根据已知得出正确图形,得出S与n的关系是解题关键.
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