题目内容

【题目】△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点C在x轴上,一角顶点B在y轴上.
(1)如图①若AD⊥x轴,垂足为点D.点C坐标是(﹣1,0),点B的坐标是(0,2),求A点的坐标.

(2)如图②,直角边BC在两坐标轴上滑动,若y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交于点D,过点A作AE⊥y轴于E,求证:BD=2AE.

(3)如图③,直角边BC在两坐标轴上滑动,使点A在第四象限内,过A点作AF⊥y轴于F,在滑动的过程中,两个结论:① 为定值;② 为定值,只有一个结论成立,请你判断正确的结论并求出定值.

【答案】
(1)

解:∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCO=90°,

∵AD⊥CD,

∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠BCO=∠CAD,

在△ACD和△CBO中,

∴△ACD≌△CBO,

∴AD=CO=1,DC=OB=2,

∴OD=OC+CD=3,

∴A(﹣3,1)


(2)

解:如图,

延长AE、BC交于点F,

∵y轴平分∠ABC,AE⊥y轴,

∴AE=EF,

∴AF=2AE,

∵AE⊥x轴,

∴∠EAD+∠ADE=90°,

∵∠ADE=∠BDC,

∴∠EAD+∠BDC=90°,

∵∠ABC=90°,

∴∠BDC+∠CBD=90°,

∴∠DAE=∠CBD,

在△BCD和△ACF中,

∴△BCD≌△ACF,

∴BD=AF,

∵AF=2AE,

∴BD=2AE


(3)

解:① 为定值,理由:

如图3,

作AE⊥OC于E,

∵∠ACB=90°,

∴∠OCB+∠OCA=90°,

∵∠OBC+∠OCB=90°,

∴∠OCA=∠OBC,

在△OBC和△ECA中

∴△OBC≌△ECA,

∴OB=CE,

∵AF=OE

∴① = = =1是定值,

= = = + = +1,而2AF与AB的关系不知,

∴②不是定值.

即:① 为定值


【解析】(1)先判断出,∠BCO=∠CAD,从而得出△ACD≌△CBO,求出AD=CO=1,DC=OB=2即可;(2)先利用等腰三角形的判定得出AF=2AE,同(1)的方法判断出△BCD≌△ACF,得出BD=AF即可;(3)作AE⊥OC,同(1)方法判断出△OBC≌△ECA得出OB=CE,最后结合图形求出①个结论是定值.
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的性质,掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)即可以解答此题.

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