Question

【题目】如图1，已知双曲线y= （k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：

（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为；当x满足：时， ≤k′x；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= （k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．

四边形APBQ一定是；
（3）若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（4）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣3，﹣1）；﹣3≤x＜0或x≥3
（2）平行四边形
（3）

解：∵点A的坐标为（3，1），

∴k=3×1=3，

∴反比例函数的解析式为y= ，

∵点P的横坐标为1，

∴点P的纵坐标为3，

∴点P的坐标为（1，3），

由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1），

如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，

则四边形CDEF是矩形，

CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，

则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积

=36﹣2﹣8﹣2﹣8

=16

（4）

解：mn=k时，四边形APBQ是矩形，

不可能是正方形．

理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°

【解析】解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），
∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．
由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥3时， ≤k′x．
所以答案是（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3（2）
(2)∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ是平行四边形．
所以答案是：平行四边形；