题目内容
如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转
点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．
分析：（1）根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，即可求解；
（2）根据勾股定理，即可列方程求解．
（2）根据勾股定理，即可列方程求解．
解答：解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴
，解得1＜x＜2． （4分）
（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=
，满足1＜x＜2．
③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=
，满足1＜x＜2．
∴x=
或x=
．
∴
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（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=
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③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=
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∴x=
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点评：本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．
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