题目内容

【题目】如图已知ABC,∠ACB=90°,AC=15,BC=20.动点P在线段CB1cm/s的速度从点CB运动连接APCEAB分别交APAB于点FE过点PPDAPAB于点D

(1)线段CE=

(2)t=5求证:△BPD≌△ACF

(3)t为何值时,△PDB是等腰三角形

(4)D点经过的路径长

【答案】(1)12;(2)答案见解析;(3);(4)12.5

【解析】试题分析:(1)由勾股定理求出AB的长,再由面积法即可得到结论;

2)用ASA证明即可;

3)作DGBC,垂足为G,由(2)得CAP=∠GPD,可得△ACPPGD分三种情况讨论:①DP=DBPD=PB,③PB=DB

4)当AP平分∠CABDB最长CB上运动时DDB之间往返运动故点D运动路径的长=2BD′,求出BD′的长即可

试题解析:解:(1)∵∠ACB=90°AC=15BC=20,∴AB==25.∵ABCE=ACBC,,∴25CE=15×20,解得CE=12.

(2)∵ t=5BF=15,∴AC=BF

∵∠APC+∠BPD=∠APC+∠CAP=90° ,∴∠BPD=∠CAP

∵∠ACE+∠BCE=∠BCE+∠B=90° ,∴∠ACE=∠B,∴BPDACF

(3)DGBC,垂足为G,由(2)得:∠CAP=∠GPD.∵∠ACP=∠PGD=90°,∴ACPPGD分三种情况讨论

①若DP=DBGPD=∠B ∴tan∠GPD=tan∠B=,∴ ,∴

②若PD=PB,则∠PDB=∠B.∵△ACPPGD,∴∠APC=∠PDG.∵∠PDC>∠B,∴∠PDG>∠B=∠PDB则点GPB的延长线上矛盾PD=PB不成立;

③若PB=DB,则BD=20t.∵DGAC,∴DGDB=ACABGBDB=CBAB,∴DG:(20-t)=1525GB:(20-t)=2025,解得:DG=GB=,∴PG=PBGB=(20-t)- =.∵△ACPPGD,∴ACCP=PGDG,∴15:t=,解得:t=4520,故PB=DB不成立.

综上所述:t=

(4)方法一AP平分∠CABDB最长CB上运动时DDB之间往返运动故点D运动路径的长=2BD′.

AP平分∠CAB,∴ACCP=ABPB,∴15:CP=25:(20-CP),解得CP=7.5.∵DGAC,∴DG=3xBG=4xBD=5x.∵△DPG∽△PAG,∴DGPG=CPAC=1:2,∴PG=6x,∴6x+4x=PB=20-7.5,解得x=1.25.∴2 BD′=2×1.25×5=12.5.

方法二P点是在CB上运动的而∠APD是直角,∴P可以看作是斜边AB上以AD为直径的圆O与线段CB的交点CB与⊙O相切的时候此时的D是运动到最远的时候设半径为OA=OP=rOB=25-r.∵OPAC,∴OPAC=OBAB,∴r=,∴BD=25-=∴运动路程为2BD==12.5.

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