题目内容
【题目】将等腰直角三角形ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按图1摆放，点D在BC边的中点上，点A在DE上．
（1）填空：AB与EF的位置关系是 ；
（2）△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF，DE分别交AB，AC于点P，Q，求证：∠BPD+∠DQC＝180°；
（3）如图2，在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析.
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）连接AD，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ，进而可根据ASA证明△BDP≌△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°，
∴∠F＝∠ ABD，∴AB∥EF；
故答案为：平行；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°，
∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°；
（3）S1与S2之间存在不变的数量关系：S1＝2S2.
理由：连接AD，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝AD＝
BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，
∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠BDP＝∠ADQ，
∴△BDP≌△ADQ（ASA），
∴S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，
又∵S△ADB＝S1，
∴S1＝2S2．
