题目内容
已知：如图(1)，在平行四边形ABCD中，对角线CA⊥BA，AB＝AC＝8cm，四边形A1B1C1D1是平行四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转45°得到的，A1D1经过点C，B1C1分别与AB、BC相交于点P、Q．
（1）求四边形CD1C1Q的周长；(保留无理数，下同)
（2）求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积S；
（3）如图(2)，将平行四边形A1B1C1D1以每秒1cm的速度向右匀速运动，当运动到B1C1在直线AC上时停止运动．设运动的时间为x（秒），两个平行四边形重合部分的面积为y（cm2）．求y关于x的函数关系式，并探索是否存在一个时刻x，使得y取最大值，若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请你说明理由．
（1）求四边形CD1C1Q的周长；(保留无理数，下同)
（2）求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积S；
（3）如图(2)，将平行四边形A1B1C1D1以每秒1cm的速度向右匀速运动，当运动到B1C1在直线AC上时停止运动．设运动的时间为x（秒），两个平行四边形重合部分的面积为y（cm2）．求y关于x的函数关系式，并探索是否存在一个时刻x，使得y取最大值，若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请你说明理由．
解：(1)由条件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴ ∠BCA＝∠D1＝45°，∴ CQ∥D1C1，∴ 四边形CD1C1Q是平行四边形．
∴ C1D1＝B1A1＝AB＝8,
CD1＝A1D1－AC＝8
－8．
∴ 四边形CD1C1Q的周长为 [(8－8)＋8]×2＝16(cm) ．
(2) 如图①，在等腰直角△A1B1P中，A1B1＝8，
∴ PA1＝4，PQ＝BP＝8－4．
∴ 两个平行四边形重合部分的面积为
S＝
＝(32－16)(cm2) ．
(3)当平行四边形A1B1C1D1运动到点C1在BC上时，如图②，则C1与Q重合，
这时运动距离为C1H (如图①)， ∴C1 H＝QC1＝CD1＝8－8
这时运动时间 x＝8－8．
①若0≤x≤8－8，如图③，AA1＝x, AP＝4－x，
PQ＝BP＝AB－AP＝8－(4－x)＝x＋8－4, A2C2＝8－x．
y＝S四边形ABCD－S△BPQ－S△A2C2D＝AB×AC－
×BP2－×C2D2
＝8×8－×(x＋8－4)2－×(8－x)2＝－x2＋4x＋32－16．
∵
， 0＜
＜8－8 ,
∴ 当x＝时，y最大1＝32－8．
②若8－8≤x≤4,如图④, P C1＝PA1＝4, AA1＝A1A2＝x，
C2C3＝C2D1＝8－8．
y＝S梯形A1PC1D1－S△AA1A2－S△C2C3D1
＝
＝－
x2＋64－48．
∵ －＜0, ∴ 当x＞0时，
随
的增大而减小，
∴x在8－8≤x≤4范围内，也是随的增大而减小,
∴ 当x＝8－8时，y最大2＝128－144．
∵ y最大2＝128－144＝(32－8)＋(96－136)＝y最大1＋8(12－17)
且8(12－17)＜0，∴ y最大2＜y最大1 ．（得出结论即可）
∴当x＝2秒时，y取最大值,这个最大值是(32－8)cm2．
∴ ∠BCA＝∠D1＝45°，∴ CQ∥D1C1，∴ 四边形CD1C1Q是平行四边形．
∴ C1D1＝B1A1＝AB＝8,
CD1＝A1D1－AC＝8
－8． ∴ 四边形CD1C1Q的周长为 [(8
－8)＋8]×2＝16(cm) ．(2) 如图①，在等腰直角△A1B1P中，A1B1＝8，
∴ PA1＝4
，PQ＝BP＝8－4．∴ 两个平行四边形重合部分的面积为
S＝
＝(32－16)(cm2) ．(3)当平行四边形A1B1C1D1运动到点C1在BC上时，如图②，则C1与Q重合，
这时运动距离为C1H (如图①)， ∴C1 H＝QC1＝CD1＝8
－8这时运动时间 x＝8
－8．①若0≤x≤8
－8，如图③，AA1＝x, AP＝4－x，PQ＝BP＝AB－AP＝8－(4
－x)＝x＋8－4, A2C2＝8－x．y＝S四边形ABCD－S△BPQ－S△A2C2D＝AB×AC－
×BP2－×C2D2＝8×8－
×(x＋8－4)2－×(8－x)2＝－x2＋4x＋32－16．∵
， 0＜＜8－8 ,∴ 当x＝
时，y最大1＝32－8．②若8
－8≤x≤4,如图④, P C1＝PA1＝4, AA1＝A1A2＝x，C2C3＝C2D1＝8
－8．y＝S梯形A1PC1D1－S△AA1A2－S△C2C3D1
＝
＝－x2＋64－48．∵ －
＜0, ∴ 当x＞0时，随的增大而减小，∴x在8
－8≤x≤4范围内，也是随的增大而减小,∴ 当x＝8
－8时，y最大2＝128－144．∵ y最大2＝128
－144＝(32－8)＋(96－136)＝y最大1＋8(12－17)且8(12
－17)＜0，∴ y最大2＜y最大1 ．（得出结论即可）∴当x＝2
秒时，y取最大值,这个最大值是(32－8)cm2．(1)由条件可知 △ABC和△ADC都是等腰直角三角形，求得四边形CD1C1Q是平行四边形，利用旋转的性质求得四边形CD1C1Q的周长
(2)根据梯形的面积公式求解
(3) 当平行四边形A1B1C1D1运动到点C1在BC上时，则C1与Q重合， 这时运动距离为C1H，这时运动时间 x＝8－8；然后根据x的取值范围分两种情况进行讨论求值
(2)根据梯形的面积公式求解
(3) 当平行四边形A1B1C1D1运动到点C1在BC上时，则C1与Q重合， 这时运动距离为C1H，这时运动时间 x＝8
－8；然后根据x的取值范围分两种情况进行讨论求值
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ABCD中, ∠C=90度，沿着直线BD折叠，使点C落在
处，
交AD于E，
，
，求DE的长．
中，错误的有
是平行四边形，
于
，
于
.求证：
.
