Question

（2011•黄冈模拟）直角梯形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长得速度向点C运动，点P、Q分别从点D、B同时出发，当点Q运动到与点C重合时，点P随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形时等腰三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ恰为B、C两点的抛物线的对称轴？若不存在，能否改变其中一个点的运动速度，使某一时刻直线PQ是过B、C两点的抛物线的对称轴，并求出改变后的速度．
（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）点P作PN⊥BC，垂足为N，则四边形PDCN为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．
在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．
（3）根据分别改变P的速度，Q的速度不变，以及改变Q的速度，P的速度不变分别得出即可．
（4）首先假设存在，然后再根据锐角三角函数的定义求出即可．

解答：解：（1）S=

1

2

×12×t=6t，（0＜t≤16）；

（2）由题意得：B（16，0），P（2t，12），Q（16-t，0），
∴BP=

(2t-16)2+144

，BQ=t，PQ=

(3t-16)2+144

，
①当BP=BQ时，

(2t-16)2+144

=t，此时方程无实数根；
②当BP=PQ时，

(2t-16)2+144

=

(3t-16)2+144

，
解得：t₁=

32

5

，t₂=0，
但当t=0时，B，Q两点重合，故t=

32

5

；
③当BQ=PQ时，

(3t-16)2+144

=t，此时方程无实数根；
综上所述，当t=

32

5

秒时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；

（3）不存在某一时刻t，使直线PQ恰为过B，C两点的抛物线的对称轴，
若改变P的速度，Q的速度不变．则CQ=BQ=8，Q点要远动8秒，此时DP=8，
故P的速度应该为

8

8

=1个单位/秒，
若改变Q的速度，P的速度不变．则DP=4，P点要远动4秒，此时QC=8=BQ，
故Q的速度应该为

8

4

=2个单位/秒，
因此，当P的速度改为1个单位/秒或Q的速度改为2个单位/秒时，直线PQ是过B，C两点的抛物线的对称轴；

（4）存在，
若PQ⊥BD，则∠DPQ=∠BDC，而tan∠BDC=

16

12

=

4

3

，
∴tan∠DPQ=

4

3

，
过Q作QM⊥DA于M，则QM=CD=12，PM=PD-OQ=2t-（16-t）=3t-16，
又tan∠DPQ=

QM

MP

=

12

MP

，
∴

4

3

=

12

3t-16

，
解得：t=

25

3

，
∴t=

25

3

秒时，PQ⊥BD．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及直角梯形的问题，通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．三种情况进行讨论是解题关键．