Question

【题目】已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设 动点P的运动时间为t秒

（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值,并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

（3) 在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并画图标出点M的位置。

Answer 1

【答案】（1）t=2.5；（2）t=4 Q(3,4)；t=1 Q(-3,4)（3）t=

【解析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值；（2）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值；（3）根据题意即可填得t的值．

解： (1)∵四边形PODB是平行四边形，

∴PB=OD=5，

∴PC=5，

∴2t=5,t=2.5；

（2）当Q点在P的右边时

∵四边形ODQP为菱形，

∴OD=OP=PQ=5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC=3，

∴2t=3；t=1.5 Q(8,4).

当Q点在P的左边且在BC线段上时，t=4， Q(3,4)；

当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，t=1，Q(-3,4) ．

（3）t=．

“点睛”本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理的运用，解题时要运用分类讨论的思想．