Question

关于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，
（1）a为何值时，方程的一根为0？
（2）a为何值时，两根互为相反数？
（3）试证明：无论a取何值，方程的两根不可能互为倒数．

Answer 1

分析：（1）若方程的一根为0，则两根的积必为0，根据此关系可求出a的值；
（2）根据相反数的概念及一元二次方程两根之和与系数的关系解答即可；
（3）根据倒数的概念及一元二次方程两根之积与系数的关系证明即可．

解答：解：（1）∵关于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，一根为0，
∴

-a+1

2

=0，
∴-a+1=0，解得a=1；


（2）∵关于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，两根互为相反数，
∴

a2-4

2

=0，解得：a=±2；
把a=2代入原方程得，2x²-1=0，x=±

2

2

，
把a=-2代入原方程得，2x²+3=0，x²=-

3

2

，无解．
故当a=2时，原方程的两根互为相反数．

（3）因为互为倒数的两个数积为1，所以x₁x₂=

-a+1

2

=1，
即

-a+1

2

=1，
解得，a=-1，
把a=-1代入原方程得，2x²+3x+2=0，
∵△=3²-4×2×2=-7＜0，
∴原方程无解，
∴无论a取何值，方程的两根不可能互为倒数．

点评：此题比较复杂，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系，解答此类题目时要注意把求得结果代入原方程进行检验，利用一元二次方程根的判别式判断原方程是否有解．