题目内容

【题目】已知,如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,
求证:BP=2PQ.

【答案】证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠1=∠2,
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°,
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°,
∴BP=2PQ.

【解析】根据等边三角形的性质可得AB=AC,∠BAE=∠C=60°,再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2,然后求出∠BPQ=60°,再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明即可.

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