题目内容

【题目】如图甲,点C将线段AB分成两部分(AC>BC),如果=,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S1,S2(S1>S2)的两部分,如果=,那么称直线l为该图形的黄金分割线.

(1)如图乙,在ABC中,A=36°,AB=AC,ACB的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上的黄金分割点,并证明你的结论;

(2)若ABC在(1)的条件下,如图丙,请问直线CD是不是ABC的黄金分割线,并证明你的结论;

(3)如图丁,在RtABC中,ACB=90°,D为斜边AB上的一点,(不与A,B重合)过D作DEBC于点E,连接AE,CD相交于点F,连接BF并延长,与DE,AC分别交于点G,H.请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗?并说明理由.

【答案】(1)点D是AB边上的黄金分割点.(2)CDABC的黄金分割线.(3)BH不是ABC的黄金分割线.

【解析】

试题分析:(1)根据条件可以证明AD=CD=BC,由BCD∽△BCA,得到,则有,所以点D是AB边上的黄金分割点.

(2)只要证明ACD:SABC=SBCD:SACD,即可得出直线CD是ABC的黄金分割线.

(3)只要证明AH=HC,则SABH=SCBH,所以BH不是ABC的黄金分割线.

解:(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:

AB=ACA=36°

∴∠B=ACB=72°

CD是角平分线,

∴∠ACD=BCD=36°

∴∠A=ACD

AD=CD

∵∠CDB=180°BBCD=72°

∴∠CDB=B

BC=CD

BC=AD

BCDBCA中,B=BBCD=A=36°

∴△BCD∽△BAC

点D是AB边上的黄金分割点.

(2)直线CD是ABC的黄金分割线.理由如下:

ABC中,AB边上的高为h,则SABC= ABh,SACD= ADh,SBCD= BDh,

SACD:SABC=AD:AB,SBCD:SACD=BD:AD,

由(1)知,点D是AB边上的黄金分割点,

SACD:SABC=SBCD:SACD

CDABC的黄金分割线.

(3)直线BH不是ABC的黄金分割线.理由如下:

DEAC

AH2=HC2

AH=HC

SBHA=SBHC=SABC

BH不是ABC的黄金分割线.

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