题目内容
【题目】如图甲,点C将线段AB分成两部分(AC>BC),如果=
,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S1,S2(S1>S2)的两部分,如果
=
,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
(1)如图乙,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,请问点D是否是AB边上的黄金分割点,并证明你的结论;
(2)若△ABC在(1)的条件下,如图丙,请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线,并证明你的结论;
(3)如图丁,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB上的一点,(不与A,B重合)过D作DE⊥BC于点E,连接AE,CD相交于点F,连接BF并延长,与DE,AC分别交于点G,H.请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗?并说明理由.
【答案】(1)点D是AB边上的黄金分割点.(2)CD是△ABC的黄金分割线.(3)BH不是△ABC的黄金分割线.
【解析】
试题分析:(1)根据条件可以证明AD=CD=BC,由△BCD∽△BCA,得到,则有
,所以点D是AB边上的黄金分割点.
(2)只要证明△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD,即可得出直线CD是△ABC的黄金分割线.
(3)只要证明AH=HC,则S△ABH=S△CBH,所以BH不是△ABC的黄金分割线.
解:(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠ACB=72°,
∵CD是角平分线,
∴∠ACD=∠BCD=36°,
∴∠A=∠ACD,
∴AD=CD,
∵∠CDB=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°,
∴∠CDB=∠B,
∴BC=CD,
∴BC=AD.
在△BCD与△BCA中,∠B=∠B,∠BCD=∠A=36°,
∴△BCD∽△BAC,
∴,
∴,
∴点D是AB边上的黄金分割点.
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设△ABC中,AB边上的高为h,则S△ABC= ABh,S△ACD=
ADh,S△BCD=
BDh,
∴S△ACD:S△ABC=AD:AB,S△BCD:S△ACD=BD:AD,
由(1)知,点D是AB边上的黄金分割点,
∴,
∴S△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD,
∴CD是△ABC的黄金分割线.
(3)直线BH不是△ABC的黄金分割线.理由如下:
∵DE∥AC,
∴,
,
∴,
,
∴,
∴AH2=HC2,
∴AH=HC,
∴S△BHA=S△BHC=S△ABC,
∴BH不是△ABC的黄金分割线.
