Question

【题目】现用棱长为2cm的小立方体按如图所示规律搭建几何体，图中自上面下分别叫第一层、第二层、第三层…，其中第一层摆放1个小立方体，第二层摆放3个小立方体，第三层摆放6个小立方体…，那么搭建第1个小立方体，搭建第2个几何体需要4个小立方体，搭建第3个几何体需要10个小立方体…，按此规律继续摆放．

（1）搭建第4个几何体需要小立方体的个数为　 　；

（2）为了美观，需将几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，且喷涂1cm2需用油漆0.2克．

①求喷涂第4个几何体需要油漆多少克？

②如果要求从第1个几何体开始，依此对第1个几何体，第2个几何体，第3和几何体，…，第n个几何体（其中n为正整数）进行喷涂油漆，那么当喷涂完第21个几何体时，共用掉油漆多少克？

（参考公式：①1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝；

②12+22+32+…+n2＝，其中n为正整数）

Answer 1

【答案】（1）20；（2）①40克；②7084克

【解析】

（1）观察图形，发现第1层是1个；第2层是3个，即3＝1+2；第3层是6个，即6＝1+2+3；第4层1+2+3+4＝10个，由此求得搭建第4个几何体需要小立方体的个数为1+3+6+10＝20个；

（2）①需要油漆也就是这个图形底面积的5倍，底面的小正方形的个数是1+2+3+…+n，由此当n＝4，代入即可得到结果；

②由①的计算规律计算即可．

（1）搭建第4个几何体需要小立方体的个数为1+3+6+10＝20个；

（2）①5×（1+2+3+4）×22×0.2＝40（克）．

答：喷涂第4个几何体需要油漆40克；

②5×[1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+4+…+19+21）]×22×0.2

＝5×[×]×22×0.2

＝5×1771×4×0.2

＝7084（克）．

答：当喷涂完第21个几何体时，共用掉油漆7084克．