题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为( )
A. 2 B. 6 C. 3 D.
【答案】C
【解析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,AB=BO=3,因为四边形BEDF是菱形,所以BE,AE可求出进而可求出BC的长.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
即BA⊥BF,
∵四边形BEDF是菱形,
∴EF⊥BD,∠EBO=∠DBF,
∵EF=AE+FC,AE=CF,EO=FO
∴AE=EO=CF=FO,
∴AB=BO=3,∠ABE=∠EBO,
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°,
在Rt△BAE中,设AE=x,则BE=2x,由勾股定理得,
∴AB2+AE2=BE2,即32+x2=(2x)2,
BE=2,
∴BF=BE=2,
∴CF=AE=,
∴BC=BF+CF=3,
故选C.
“点睛”本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半,解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°.
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