Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）相切,理由见解析；（2）6.25

【解析】

（1）连接OC，推出AD∥OC，从而得OC⊥MN，根据切线的判定推出即可．

（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．

解：（1）直线MN与⊙O的位置关系是相切．理由如下：

连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA．

∴OC∥AD．

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN．

∵OC为半径，

∴MN是⊙O切线．

（2）∵CD=6，，

∴AC=10．

由勾股定理得：AD=8．

∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°．

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB．

∴，即．

∴AB=12.5．

∴⊙O半径是×12.5=6.25．