Question

【题目】如图1，AB=5cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=4cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由A向B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P速度相等，当t=1，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由，并推导出此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=α°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ；（2）存在，x＝1，t＝1或t＝2.5，x＝

【解析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP与△BPQ全等，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．

解：（1）∵点Q的运动速度与点P速度相等，

当t＝1时，AP＝BQ＝1，BD＝AC＝4，
∵AB＝5，
∴BP＝51＝4＝AC，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP＝BQ，∠A＝∠B，AC＝BP，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC＋∠BPQ＝∠APC＋∠ACP＝90°，
∴∠CPQ＝90°，即PC⊥PQ；
（2）存在，

①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，

∵AP=t，BQ=xt，则BP=5-t，
∴4＝5t，t＝xt，
解得：t＝1，x＝1，
∴存在x＝1，t＝1，使得△ACP与△BPQ全等；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
∴t＝5t，4＝xt，
解得t＝2.5，x＝，
∴存在t＝2.5，x＝，使得△ACP与△BPQ全等；
综上所述，存在x＝1，t＝1或t＝2.5，x＝，使得△ACP与△BPQ全等．