题目内容
已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N。
(1)设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数关系式;
(2)若线段MP与PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数关系式。
解:(1)∵抛物线的顶点是C(0,1),∴b=0,c=1,
如图1,
∵a>0,直线l过点N(0,3)
∴M点在x轴正半轴上
∵点P到x轴的距离为2,即点P的纵坐标为2。
把y=2代入得,
∴P点坐标为(,2)
∵直线与抛物线交于点P
∴点P在上,
∴a=1
∴直线l的函数关系式为
(2)如图2,若点P在y轴的右边,记为P1,过点P1作P1A⊥x轴于A,
,
,
,即
∵ON=3,,即点P1的纵坐标为
把代入,得
∴点P1的坐标为()
又∵点P1是直线l与抛物线的交点。∴点P1在抛物线上,
∴抛物线的函数关系式为
如图2,若点P在y轴的左边,记为P2。作P2B⊥x轴于B
。,
,
,即
∵ON=3,,即点P2的纵坐标为
由P2在直线l上可求得
又∵P2在抛物线上,
∴抛物线的函数关系式为
解析
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