Question

如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足为D，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，AE与BF相交于点O．
（1）当∠BAC=50°，∠C=70°时，求∠AED，∠AOB；
（2）当∠C=α时，求∠AOB．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAE=∠BAC=25°，∠EBO=∠ABC=30°，
∴∠AED=∠ABE+∠BAE=60°+25°=85°；
∵∠AOB=∠EBO+∠OED，
而∠OED=180°-∠AED=180°-85°=95°，
∴∠AOB=30°+95°=125°；

（2）∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠CAE=∠BAC，∠FEB=∠ABC，
∵∠AOB=∠EBO+∠OED，∠OED=∠CAE+∠C，
∴∠AOB=∠ABC+∠BAC+∠C=（∠ABC+∠BAC+2∠C），
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
∴∠AOB=（180°-∠C+2∠C），
∴∠AOB=90°+α．
分析：（1）先根据三角形内角和定理计算出∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°，再根据角平分线的性质得到∠BAE=∠BAC=25°，∠EBO=∠ABC=30°，则利用三角形外角性质得∠AED=∠ABE+∠BAE=85°；由于∠OED=180°-∠AED=180°-85°=95°，然后利用∠AOB=∠EBO+∠OED进行计算；
（2）根据角平分线的性质得到∠CAE=∠BAC，∠FEB=∠ABC，利用三角形外角性质得∠AOB=∠EBO+∠OED，∠OED=∠CAE+∠C，则∠AOB=∠ABC+∠BAC+∠C=（∠ABC+∠BAC+2∠C），然后利用∠ABC+∠BAC+∠C=180°可得到∠AOB=（180°+∠C）．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及角平分线的定义．