题目内容
20、已知：如图，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D．则△CDQ是等腰三角形．
对上述命题证明如下：
证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠A=∠1
∵CD切O于C点
∴∠OCD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠A+∠2=90°
在RtQPA中，∠QPA=90°
∴∠A+∠Q=90°
∴∠2=∠Q
∴DQ=DC
即CDQ是等腰三角形．
问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
对上述命题证明如下：证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠A=∠1
∵CD切O于C点
∴∠OCD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠A+∠2=90°
在RtQPA中，∠QPA=90°
∴∠A+∠Q=90°
∴∠2=∠Q
∴DQ=DC
即CDQ是等腰三角形．
问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
分析：参照已知的证明方法，可以利用相同的方法，在第二个图形中证明过程仍成立．
解答：答：结论“△CDQ是等腰三角形”还成立．
证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO．
∵CD切O于C点，
∴∠OCD=90°．
∴∠AC0+∠DAC=90°．
在RtQPA中，∠QPA=90°，
∴∠PAQ+∠Q=90°，
∴∠DCQ=∠Q，
∴DQ=DC．
即CDQ是等腰三角形．
证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO．
∵CD切O于C点，
∴∠OCD=90°．
∴∠AC0+∠DAC=90°．
在RtQPA中，∠QPA=90°，
∴∠PAQ+∠Q=90°，
∴∠DCQ=∠Q，
∴DQ=DC．
即CDQ是等腰三角形．
点评：阅读题意，理解已知中的证明过程，是解决本题的关键．
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