Question

【题目】如图，在中，点为的中点，，的延长线与交于点，且.

（1）求证与相切；

（2）若，求弦的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见详解

(2)AB=

【解析】

第一问，求证AD与相切，就需要连接AO,求出∠OAD=90°，利用C点为的中点，且，得到∠OCA=60°，进而得到∠OAC=60°,利用△ACB得到∠ABC=30°

且利用∠B=∠D，得到∠DAC=30°，最后就能得到∠OAD=90°

第二问，利用解直角三角形方法，求解△AEC，可以得到AE的长，然后就能得出AB的长

解：(1)连接OA，∵∠ACB=120°，且点C为的中点，又垂径定理可知，CO⊥AB，且平分AB，∴AE=BE，∠AEC=∠BEC，EC=EC，∴ ，∴∠ACE=60°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=30°，∠ACD=12°,∵∠B=∠D=30°，∴∠CAD=30°，∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA=60°，∴∠OAD=90°，∴与相切.

(2)AE=CE×tan∠ACE= ，AB=2AE=