题目内容

如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，
∴OC= $\text{[math]}$ OB= $\text{[math]}$ ×4=2，BC=OB•sin60°=4× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴点B的坐标是（-2，2 $\text{[math]}$ ）．

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（4，0），B（-2，2 $\text{[math]}$ ）代入，得 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
∴此抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ ．

（3）存在．
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，
设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，
则2²+|y|²=4²，解得y=±2 $\text{[math]}$ ．
当y=-2 $\text{[math]}$ 时，在Rt△POD中，∠POD=90°，
sin∠POD= $\text{[math]}$ ．
∴∠POD=60°．
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P，O，B三点在同一条直线上，
∴y=-2 $\text{[math]}$ 不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，2 $\text{[math]}$ ）．
②若OB=PB，则4²+|y-2 $\text{[math]}$ |²=4²，解得y=2 $\text{[math]}$ ．
∴点P的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ）．
③若OP=PB，则2²+|y|²=4²+|y-2 $\text{[math]}$ |²，解得y=2 $\text{[math]}$ ．
∴点P的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ）．
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在Rt△BOC中解直角三角形可得出点B的坐标；
（2）设出抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（3）设点P的坐标为（2，y），分三种情况讨论，①OB=OP，②OB=PB，③OP=PB，分别求出y的值，即可得出点P的坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形及等腰三角形的性质，难点在第三问，关键是分类讨论，避免漏解．