Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AC=5，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁，再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁、O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁．依此类推．则第10个平行四边形的周长是

 

．

Answer 1

分析：在矩形ABCD中，抓住矩形的性质，得知对角线AC=BD且O是中点，则很容易求得第二个平行四边形的边长．同理，求得第四个，第六个平行四边形的边长，找出规律解答即可．

解答：解：在矩形ABCD中，AC=BD且O是BD中点，
在平行四边形OBB₁C中，A₁是BC、OB₁中点，
∴在△ABC中，OA₁是中位线，
∴OA₁=

1

2

AB，
∴A₁B₁=

1

2

AB，
又∵A₁C=

1

2

BC，
∴第二个平行四边形A₁B₁C₁C的周长是2（A₁B₁+A₁C₁）=2×

1

2

（AB+BC），
同理，求得第四、六个平行四边形的周长分别是2×

1

2

×

1

2

（AB+BC），2×

1

2

×

1

2

×

1

2

（AB+BC），
以此类推，第十个平行四边形的周长是2×(

1

2

)5（AB+BC）=

7

16

．
故答案为：

7

16

．

点评：本题考查的是矩形的性质与平行四边形的性质．矩形是一种特殊的平行四边形，在平行四边形中，对角线相等，对边平行且相等．