题目内容

如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2
3
，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CPQ的度数．
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．
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分析：（1）此题首先要抓住运动变换中的不变量和不变关系：①矩形的长度；②△ABD和△BCD的形状特征及三边关系；③PQ∥BD；④△PQC与△PQR关于PQ对称，满足轴对称的一切性质等；
（2）要找准瞬间状态，准确的画出图形，变动为不动；
（3）以（2）题的结论为界点，分段考虑问题．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2
3
，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2
3
；
∴tan∠CDB=
BC
CD
=
3
3
；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；

（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2
3
-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（2
3
-x）=x，解得x=
4
3
3
；

（3）当R在矩形ABCD的外部时，
4
3
3
＜x＜2
3
；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2
3
-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4
3
；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
3
x-4；
∴S△ERF=
1
2
ER×FR=
3
3
2
x2-12x+8
3
；
∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当
4
3
3
＜x＜2
3
时，y=-
3
x2+12x-8
3
．
∴
8
3
3
＜y＜4
3
．
点评：此题是“动态类”问题，涉及到矩形的性质、图形的折叠变换、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，注意分类讨论．
练习册系列答案
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A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网
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（2）试求出S与t的函数关系式；
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（1）当n=1，k=2时（如图1），
CP
PQ
=
 
；
（2）当n=
2
，k=1时（如图2），求证：CP=AQ；
（3）若k=1，当n=
 
时，有CP⊥DE．
如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，经过
3
3
秒后，四边形AQCP是菱形；
（2）菱形AQCP的周长为
20
20
cm、面积为
20
20
cm2．

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