题目内容
如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2| 3 |
（1）求∠CPQ的度数．
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．
分析：（1）此题首先要抓住运动变换中的不变量和不变关系：①矩形的长度；②△ABD和△BCD的形状特征及三边关系；③PQ∥BD；④△PQC与△PQR关于PQ对称，满足轴对称的一切性质等；
（2）要找准瞬间状态，准确的画出图形，变动为不动；
（3）以（2）题的结论为界点，分段考虑问题．
（2）要找准瞬间状态，准确的画出图形，变动为不动；
（3）以（2）题的结论为界点，分段考虑问题．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2
，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2
；
∴tan∠CDB=
=
；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；
（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2
-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（2
-x）=x，解得x=
；
（3）当R在矩形ABCD的外部时，
＜x＜2
；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2
-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4
；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
x-4；
∴S△ERF=
ER×FR=
x2-12x+8
；
∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当
＜x＜2
时，y=-
x2+12x-8
．
∴
＜y＜4
．
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2
| 3 |
∴CD=6，BC=2
| 3 |
∴tan∠CDB=
| BC |
| CD |
| ||
| 3 |
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；
（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2
| 3 |
在△RPB中，根据题意，得：2（2
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（3）当R在矩形ABCD的外部时，
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2
| 3 |
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4
| 3 |
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=
| 3 |
∴S△ERF=
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴
8
| ||
| 3 |
| 3 |
点评：此题是“动态类”问题，涉及到矩形的性质、图形的折叠变换、解直角三角形、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法、二次函数的应用等重要知识点，综合性强，注意分类讨论．
练习册系列答案
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