Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
求证：DE=DF．

Answer 1

证明：
证法一：连接AD．
∵点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
证法二：在△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角） …
∵点D是BC边上的中点
∴BD=DC …
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F
∴∠BED=∠CFD=90°…
在△BED和△CFD中
∵，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
分析：D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．