题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的△BCD．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．
【答案】（1）
；（2）P（
，
）或P（
，
）；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°，∴C（1，1）．
设经过A、B、C三点的抛物线解析式
，则有
，∴
，∴抛物线解析式为；
（2）如图1所示，设直线PC与AB交于点E．∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，∴
或
，过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA，∴△BEF∽△BAO，∴
，∴当时，
，∴EF=
，BF=
，∴E（
，），∴直线PC解析式为
，∴
，∴
，
（舍去），∴P（，）；
当时，同理可得，P（，）．
（3）设△ABO平移的距离为t，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分的面积为S．
由平移得，A1B1的解析式为y=2x+2﹣t，A1B1与x轴交点坐标为（
，0）．
C1B2的解析式为
，C1B2与y轴交点坐标为（0，
）．
①如图2所示，当
时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为四边形．
设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ．
由由
，得
，∴Q（
，
），∴
=
，∴S的最大值为．
②如图3所示，当
时，△A1B1O1与△B2C1D1重叠部分为直角三角形．
设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G，∴G（1﹣2t，4﹣5t），∴D1H=
，D1G=4﹣5t，∴S=
D1H×D1G=
，∴当时，S的最大值为
．
综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为．
