Question

已知抛物线y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

．
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；
（3）若反比例函数y=

k

x

(k＞0，   x＞0)的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x₀，且满足2＜x₀＜3，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据原式等于0，利用根的判别式△＞0即可得出答案；
（2）首先利用抛物线上两个不同点A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的纵坐标相同，得出点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则m-3=

(n-3)+(-n+1)

2

=-1，进而求出m的值，即可得出二次函数解析式，即可得出n的值；
（3）根据当2＜x＜3时，对于y=

1

2

x2+x-

3

2

，y随着x的增大而增大，再利用x=2和3时y的值得出k的取值范围．

解答：（1）证明：令

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

=0．
得△=[-(m-3)]2-4×

1

2

×

5-4m

2

=m²-2m+4=（m-1）²+3．
∵不论m为任何实数，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．
x=-

-(m-3)

2× 1 2

=m-3．

（2）解：抛物线y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

的对称轴为：x=m-3，
∵抛物线上两个不同点A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的纵坐标相同，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则m-3=

(n-3)+(-n+1)

2

=-1．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x2+x-

3

2

．   
∵A（n-3，n²+2）在抛物线y=

1

2

x2+x-

3

2

上，
∴

1

2

(n-3)2+(n-3)-

3

2

=n2+2．
化简，得n²+4n+4=0．
∴n=-2．　　

（3）解：当2＜x＜3时，
对于y=

1

2

x2+x-

3

2

，y随着x的增大而增大，
对于y=

k

x

(k＞0，   x＞0)，y随着x的增大而减小．
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，
解得：k＞5．
当x₀=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，
解得k＜18．
所以k的取值范围为：5＜k＜18．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数与不等式等知识，根据二次函数图象上点的特征得出n的值是解题关键．