Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，切点为B．点C为射线BE上一动点（点C与B不重合），且弦AD平行于OC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r．试问：当动点C在射线BE上运动到什么位置时，有AD=

2

r？请回答并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）要证明CD是⊙O的切线只要证明OD⊥DC即可；
（2）当BC=OB时，AD=

2

r，由已知可求得∠AOD=90°，从而利用勾股定理可求得AD的长．

解答：（1）证明：连接OD；
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∵OC∥AD，
∴∠A=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3；
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：当BC=r时；
∵∠OBC=90°，BO=BC=r，
∴∠3=∠A=∠1=45°，
∴∠AOD=90°，
∴AD=

OA2+OD2

=

2

r．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．