Question

已知：如图，在正方形ABCD中，E是AB上的一点，延长BC到F使CF=AE，把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得到△ABH，AH交DE于点G．
求证：AH⊥DE．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=DC，∠DAB=∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°，
∴∠DAB=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ADE≌△DCF，
∵把△DCF向左平移得到△ABH，
∴△ABH≌△DCF，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠ADE=∠BAH，
∵∠BAH+∠GAD=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠GAD=90°，
∴∠AGD=180°-（∠ADE+∠GAD）=90°，
∴AH⊥DE．
分析：根据平行四边形性质得出AD=DC，∠DAB=∠BCD=90°，根据SAS证△ADE≌△DCF，根据平移性质得出△ABH≌△DCF，推出△DAE≌△ABH，求出∠ADE=∠BAH，求出∠ADE+∠GAD=90°，
根据三角形的内角和定理求出∠AGD=90°，根据垂线定义得出即可．
点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，垂线，平移的性质等知识点的运用，解此题的关键是根据这些性质求出∠ADE+∠GAD=90°，题目综合性比较强，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．