题目内容
【题目】问题背景:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1:将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.并且量AB=4cm,AC=8cm,问题解决:
(1)将图1中的△ACD以点为A旋转中心,按逆时针方向能转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的△AC'D,过点C作AC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是 .
(2)缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B、A、D三点在同一条直线上,得到如图3所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长到点G,使FG=AF,连接CG、C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.
实践探究:(3)创新小组在缜密小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'C与BC'相交于点H,如图4所示,连接CC',试求tan∠C'CH的值.
【答案】(1)菱形;(2)详见解析;(3)
【解析】
(1)先判断出∠ACD=∠BAC,进而判断出∠BAC=∠AC'D,进而判断出∠CAC'=∠AC'D,即可得结论;
(2)先判断出∠CAC'=90°,再判断出AG⊥CC',CF=C'F,进而判断出四边形ACGC'是菱形,即可得出结论;
(3)先判断出∠ACB=30°,进而求出BH,AH,即可求出CH,C'H,即可得出结论.
(1)在如图1中,
∵AC是矩形ABCD的对角线,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
在图2中,由旋转知,AC'=AC,∠AC'D=∠ACD,
∴∠BAC=∠AC'D,
∵∠CAC'=∠BAC,
∴∠CAC'=∠AC'D,
∴AC∥C'E,
∵AC'∥CE,
∴四边形ACEC'是平行四边形,
∵AC=AC',
∴ACEC'是菱形,
故答案为:菱形;
(2)在图1中,∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°
在图3中,由旋转知,∠DAC'=∠DAC,
∴∠ACB=∠DAC',
∴∠BAC+∠DAC'=90°,
∵点D,A,B在同一条直线上,
∴∠CAC'=90°,
由旋转知,AC=AC',
∵点F是CC'的中点,
∴AG⊥CC',CF=C'F,
∵AF=FG,
∴四边形ACGC'是平行四边形,
∵AG⊥CC',
∴ACGC'是菱形,
∵∠CAC'=90°,
∴菱形ACGC'是正方形;
(3)在Rt△ABC中,AB=4,AC=8,
∴AC'=AC=8,AD=BC=4,sin∠ACB=
,
∴∠ACB=30°,
由(2)结合平移知,∠CHC'=90°,
在Rt△BCH中,∠ACB=30°,
∴BH=BCsin30°=2,
∴C'H=BC'﹣BH=8﹣2,
在Rt△ABH中,AH=AB=2,
∴CH=AC﹣AH=8﹣2=6,
在Rt△CHC'中,tan∠C′CH=.

【题目】九(1)班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别,每位同学仅选一项.根据调査结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.
类别 | 频数(人数) | 频率 |
小说 | a | 0.5 |
戏剧 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合计 | b | 1 |
根据图表提供的信息,回答下列问题:
(1)直接写出:a= .b= m= ;
(2)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团,请求选取的2人恰好是甲和乙的概率.