题目内容

【题目】问题背景:在综合与实践课上,老师让同学们以矩形纸片的剪拼为主题开展数学活动.如图1:将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到ABCACD.并且量AB4cmAC8cm,问题解决:

1)将图1中的ACD以点为A旋转中心,按逆时针方向能转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图2所示的AC'D,过点CAC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是   

2)缜密小组将图1中的ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使BAD三点在同一条直线上,得到如图3所示的AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长到点G,使FGAF,连接CGC'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.

实践探究:(3)创新小组在缜密小组发现结论的基础上,进行如下操作:将ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时A点平移至A'点,A'CBC'相交于点H,如图4所示,连接CC',试求tanC'CH的值.

【答案】(1)菱形;(2)详见解析;(3)

【解析】

(1)先判断出∠ACD=∠BAC,进而判断出∠BAC=∠AC'D,进而判断出∠CAC'=∠AC'D,即可得结论;

(2)先判断出∠CAC'90°,再判断出AGCC'CFC'F,进而判断出四边形ACGC'是菱形,即可得出结论;

(3)先判断出∠ACB30°,进而求出BHAH,即可求出CHC'H,即可得出结论.

(1)在如图1中,

∵AC是矩形ABCD的对角线,

∴∠B∠D90°AB∥CD

∴∠ACD∠BAC

在图2中,由旋转知,AC'AC∠AC'D∠ACD

∴∠BAC∠AC'D

∵∠CAC'∠BAC

∴∠CAC'∠AC'D

∴AC∥C'E

∵AC'∥CE

四边形ACEC'是平行四边形,

∵ACAC'

∴ACEC'是菱形,

故答案为:菱形;

(2)在图1中,四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD

∴∠CAD∠ACB∠B90°

∴∠BAC+∠ACB90°

在图3中,由旋转知,∠DAC'∠DAC

∴∠ACB∠DAC'

∴∠BAC+∠DAC'90°

DAB在同一条直线上,

∴∠CAC'90°

由旋转知,ACAC'

FCC'的中点,

∴AG⊥CC'CFC'F

∵AFFG

四边形ACGC'是平行四边形,

∵AG⊥CC'

∴ACGC'是菱形,

∵∠CAC'90°

菱形ACGC'是正方形;

(3)Rt△ABC中,AB4AC8

∴AC'AC8ADBC4sin∠ACB

∴∠ACB30°

(2)结合平移知,∠CHC'90°

Rt△BCH中,∠ACB30°

∴BHBCsin30°2

∴C'HBC'BH82

Rt△ABH中,AHAB2

∴CHACAH826

Rt△CHC'中,tan∠C′CH

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