题目内容
如图,已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(B点在A点的右边),与y轴的正半轴交于点C,且(x1+x2)-x1x2=10.(1)求此二次函数的解析式.
(2)写出B,C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标;
(3)连接BM,动点P在线段BM上运动(不含端点B,M),过点P作x轴的垂线,垂足为H,设OH的长度为t,四边形PCOH的面积为S.请探究:四边形PCOH的面积S有无最大值?如果有,请求出这个最大值;如果没有,请说明理由.
分析:(1)由根与系数的关系,得到x1和x2的关系式进而求出m的值,所以可求此二次函数的解析式;
(2)令y=0解一元二次方程,可求出B,C两点的坐标;把二次函数的解析式为y=-x2+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标;
(3)过M作MN⊥x轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3,再由PH∥MN,可求得PH=3BH=3(4-t),所以S=-
t2+10t=-
(t-
)2+
可求出四边形PCOH的面积S最大值.
(2)令y=0解一元二次方程,可求出B,C两点的坐标;把二次函数的解析式为y=-x2+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标;
(3)过M作MN⊥x轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3,再由PH∥MN,可求得PH=3BH=3(4-t),所以S=-
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解答:解:(1)由根与系数的关系,得
∵(x1+x2)-x1x2=10,
∴m+4m=10,m=2.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8.
(2)由-x2+2x+8=0,解得x1=-2,x2=4.
y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9.
∴B,C,M的坐标分别为B(4,0),C(0,8),M(1,9).
(3)如图,过M作MN⊥x轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3.
∵OH=t(1<t<4),∴BH=4-t.
由PH∥MN,可求得PH=3BH=3(4-t),
∴S=
(PH+CO)•OH
=
(12-3t+8)t
=-
t2+10t(1<t<4).
S=-
t2+10t=-
(t-
)2+
.
∵1<
<4.
∴当t=
时,S有最大值,其最大值为
.
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∵(x1+x2)-x1x2=10,
∴m+4m=10,m=2.
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8.
(2)由-x2+2x+8=0,解得x1=-2,x2=4.
y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9.
∴B,C,M的坐标分别为B(4,0),C(0,8),M(1,9).
(3)如图,过M作MN⊥x轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3.
∵OH=t(1<t<4),∴BH=4-t.
由PH∥MN,可求得PH=3BH=3(4-t),
∴S=
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S=-
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∵1<
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∴当t=
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50 |
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点评:本题考查了二次函数的综合应用,将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
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