题目内容
如果对于正整数n，7n的个位数用an表示，那么（1）求a2010的值；
（2）当n为什么数时，-n2+2nan取得最大值，并求出这个最大值．
【答案】分析：（1）由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…可以看出当指数除以4，余数是几，就与7的几次方的尾数相同，由此解决问题．
（2）先将-n2+2nan变形为an2-（n-an）2，分n≠4k+2，-n=4k+2两种情况讨论求解．
解答：解：（1）∵a1=7，a2=9，a3=3，a4=1，并且an+4=an，
∴a2010=a2=9；
（2）∵-n2+2nan=an2-（n-an）2，
当n≠4k+2时，-n2+2nan≤an2≤72＜80；
当n=4k+2时，-n2+2nan=81-（n-9）2≤81-1=80，
仅当n=10时等号成立．
∴当n=10时，-n2+2nan取得最大值80．
点评：本题考查了尾数特征，解决此类问题要在计算中找出规律：7n的个位数4个一循环，同时注意分类思想的应用．
（2）先将-n2+2nan变形为an2-（n-an）2，分n≠4k+2，-n=4k+2两种情况讨论求解．
解答：解：（1）∵a1=7，a2=9，a3=3，a4=1，并且an+4=an，
∴a2010=a2=9；
（2）∵-n2+2nan=an2-（n-an）2，
当n≠4k+2时，-n2+2nan≤an2≤72＜80；
当n=4k+2时，-n2+2nan=81-（n-9）2≤81-1=80，
仅当n=10时等号成立．
∴当n=10时，-n2+2nan取得最大值80．
点评：本题考查了尾数特征，解决此类问题要在计算中找出规律：7n的个位数4个一循环，同时注意分类思想的应用．
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