题目内容
(2013•福州)我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx(a≠0)
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a=
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是
(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b;
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过Dn,求所有满足条件的正方形边长.
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,a=
-1
-1
;当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是
a=-
或am+1=0
1 |
m |
a=-
或am+1=0
1 |
m |
(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b;
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,横坐标依次为1,2,…,n(为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn,若这组抛物线中有一条经过Dn,求所有满足条件的正方形边长.
分析:(1)利用顶点坐标公式(-
,
)填空;
(2)首先,利用配方法得到抛物线的解析式y=a(x+
)2-
,则易求该抛物线的顶点坐标(-
,-
);
然后,把该顶点坐标代入直线方程y=kx(k≠0),即可求得用含k的代数式表示b;
(3)根据题意可设可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=-
x2+2x.所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是(2n,n),则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t.然后由n、t的取值范围来求点An的坐标,即该正方形的边长.
b |
2a |
4ac-b2 |
4a |
(2)首先,利用配方法得到抛物线的解析式y=a(x+
b |
2a |
b2 |
4a |
b |
2a |
b2 |
4a |
然后,把该顶点坐标代入直线方程y=kx(k≠0),即可求得用含k的代数式表示b;
(3)根据题意可设可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=-
1 |
t |
解答:解:(1)∵顶点坐标为(1,1),
∴
,
解得,
,
即当顶点坐标为(1,1)时,a=-1;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,
,
解得,
则a与m之间的关系式是:a=-
或am+1=0.
故答案是:-1;a=-
或am+1=0.
(2)∵a≠0,
∴y=ax2+bx=a(x+
)2-
,
∴顶点坐标是(-
,-
).
又∵该顶点在直线y=kx(k≠0)上,
∴k(-
)=-
.
∵b≠0,
∴b=2k;
(3)∵顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,
∴可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).
由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=-
x2+2x.
∵四边形AnBnCnDn是正方形,
∴点Dn的坐标是(2n,n),
∴-
(2n)2+2•2n=n,
∴4n=3t.
∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12,
∴n=3,6或9.
∴满足条件的正方形边长是3,6或9.
∴
|
解得,
|
即当顶点坐标为(1,1)时,a=-1;
当顶点坐标为(m,m),m≠0时,
|
解得,
|
则a与m之间的关系式是:a=-
1 |
m |
故答案是:-1;a=-
1 |
m |
(2)∵a≠0,
∴y=ax2+bx=a(x+
b |
2a |
b2 |
4a |
∴顶点坐标是(-
b |
2a |
b2 |
4a |
又∵该顶点在直线y=kx(k≠0)上,
∴k(-
b |
2a |
b2 |
4a |
∵b≠0,
∴b=2k;
(3)∵顶点A1,A2,…,An在直线y=x上,
∴可设An(n,n),点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t).
由(1)(2)可得,点Dn所在的抛物线解析式为y=-
1 |
t |
∵四边形AnBnCnDn是正方形,
∴点Dn的坐标是(2n,n),
∴-
1 |
t |
∴4n=3t.
∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12,
∴n=3,6或9.
∴满足条件的正方形边长是3,6或9.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的顶点坐标公式以及正方形的性质.解答(3)题时,要注意n的取值范围.
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