Question

等边三角形纸片ABC和C'D'E'的边长分别为和2。

（1）如图1，将△C'D'E'放在△ABC上，使得C'和C重合，且D'和E'分别AC在AC和BC上，固定△ABC，将△C'D'E'绕点C逆时针旋转30°得到△C'DE（如图2），连接AD、BE，C'E的延长线交AB于F，试判断线段BE与AD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，若将△C'DE继续移动，使其在线段CF上沿着CF的方向以每秒1个单位的速度平移，如图3，设△C'DE移动的时间为x秒，△C'DE与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。

Answer 1

解：（1）BE与AD的关系是相等，
证明：∵△ABC与△C'D'E'是等边三角形，
∴DC=EC，AC=BC，∠ABC=∠DCE
∵∠ACF=∠ACF
∴∠DCA=∠ECB
∴在△ADC和△ECB中，
∴△ADC≌△ECB
∴BE=AD。
（2）∵∠BCF=30°
∴ ∠BCF=∠ACB=∠ACF
∴CF⊥AB于F
∵BC=
∴在Rt△BFC中，BF=
由勾股定理得CF=4，
∵C'E=2，且△C'DE平移的速度是1
∴0≤x≤2
∵∠DC'E=60°，∠ACF=30°，
∴∠CGC'=30°
∴∠ACF=∠CGC'
∴DG=2-x
又∵∠D=60°，∠DGH=30°，
∴∠DHG=90°
∴△DGH为直角三角形
∴DH=
∴S_△DGH=×DH×HG=
又∵S_△DC'E=
∴ y=S_△DC'E-S_△DGH=
∴。