Question

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．
（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形；
（2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图③．探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；
（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I=CI．

Answer 1

分析：（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；
（2）利用SAS即可判定△AF₁C≌△D₁H₁C，则可得对应线段相等，即可求得D₁F₁=AH₁；
（3）首先连接CG₁，利用AAS即可证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．然后可证得△CG₁F₁≌△CG₁H₁．又由平行线的性质即可求得答案．

解答：解：（1）图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH．

（2）D₁F₁=AH₁，
证明：∵在△AF₁C与△D₁H₁C中，

∠A=∠D1=30° CA=CD1 ∠F1CH1=∠F1CH1

，
∴△AF₁C≌△D₁H₁C．
∴F₁C=H₁C，又CD₁=CA，
∴CD₁-F₁C=CA-H₁C．
即D₁F₁=AH₁；

（3）连接CG₁．
在△D₁G₁F₁和△AG₁H₁中，
∵

∠D1=∠A ∠D1G1F1=∠AG1 D1F1=AH1

H1，
∴△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．
∴G₁F₁=G₁H₁，
又∵H₁C=F₁C，G₁C=G₁C，
∴△CG₁F₁≌△CG₁H₁．
∴∠1=∠2．
∵∠B=60°，∠BCF=30°，
∴∠BFC=90°．
又∵∠DCE=90°，
∴∠BFC=∠DCE，
∴BA∥CE，
∴∠1=∠G₁CE，
∴∠2=∠G₁CE，
∴G₁I=CI．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，平行线的性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是注意数形结合思想的应用，准确构造辅助线给解题会带来事半功倍的效果．