Question

两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图（1）摆放，使直角顶点重合．将图（1）中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图（2），点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点．

（1）不添加辅助线，写出图（2）中所有与△BCF全等的三角形；

（2）将图（2）中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D₁E₁C，点F、G、H的对应点分别为F₁、G₁、H₁，如图（3），探究线段D₁F₁与AH₁之间的数量关系，并写出推理过程；

（3）在（2）的条件下，若D₁E₁与CE交于点I，求证：G₁I=CI．

 

Answer 1

【答案】

（1）△AGH，△CEH，△DGF

（2）D₁F₁=AH₁，提示:证△BCF₁≌△E₁CH₁（ASA）

     从而得CF₁＝CH₁

     ∴D₁F₁＝AH₁

（3）连结CG₁

由（2）得D₁F₁＝AH₁，可证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁（AAS）

可得D₁G₁＝AG₁，再证△D₁G₁C≌△AG₁C（SAS）

可得∠D₁CG₁＝∠ACG₁＝∠D₁CA＝×15°＝7．5 °

∴∠ICG₁＝37．5°，又可求得∠CIE₁＝75°

∴∠CG₁I＝37．5°，∴∠ICG₁＝∠IG₁C

     ∴CI＝G₁I

【解析】（1）根据全等三角形的判断解答（2）证得△BCF₁≌△E₁CH₁，求得CF₁＝CH₁，从而得到结论（3）连结CG₁，通过证得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁和△D₁G₁C≌△AG₁C，可得∠D₁CG₁＝∠ACG₁＝∠D₁CA，从而求得结论