Question

已知：如图，点P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB=

3

，PC=1，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析：以BP边作等边三角形BPD，连接AD，根据等边三角形的每一个角都等于60°推出∠ABD=∠CBP，然后利用边角边证明△ABD与△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CP=1，对应角相等可得∠BPC=∠BDA，再利用勾股定理逆定理证明△ADP是∠ADP=90°的直角三角形，从而求出∠ADB的度数，即∠BPC的度数．

解答：解：以BP为边作等边三角形BPD，连接AD，
则BD=BP=DP=

3

，∠DBP=∠BDP=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵∠ABD+∠ABP=∠CBP+∠ABP=60°，
∴∠ABD=∠CBP，
在△ABD与△CBP中，

AB=BC ∠ABD=∠CBP BD=BP

，
∴△ABD≌△CBP（SAS），----------------------------（3分）
∴∠BPC=∠BDA，AD=PC=1，
在△ADP中，∵PA=2，PD=

3

，AD=1，
∴AP²=DP²+AD²，
∴△APD是直角三角形，---------------------------（4分）
∴∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ADP+∠BDP=150°，
∴∠BPC=150°．-----------------------------------（5分）

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，勾股定理逆定理，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键．