Question

已知：抛物线与轴的一个交点为．

(1)求抛物线与轴的另一个交点的坐标；

(2)是抛物线与轴的交点，是抛物线上的一点，且以为一底的梯形的面积为9，求此抛物线的解析式；

(3)是第二象限内到轴、轴的距离的比为5：2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使朋的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)由条件得抛物线的对称轴为，

   而A与B关于对称轴对称

   则B点坐标为(一3，0)

(2)四边形ABCD是梯形，则C、D关于对称轴对称，

    CD=4，AB=2，梯形的高为，

    由，解得

    将(-l，0)代入解析式得，

    所以抛物线解析式为．

 (3)根据条件设E点坐标为，

    将E点坐标代入解析式得，

    解得或(舍去)

    则点坐标为

AE 长度为定值，若使APAE的周长最小，实际上只需使最小即可．A点关于对称轴的对称点为B，连结BE，BE与对称轴交点即为所求P点， 过BE的直线解析式为，当时，，所以