题目内容
（2012•泰顺县模拟）直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=3，边BC，AB分别在x轴和y轴上，已知点C的坐标分别为（4，0）．动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BC方向作匀速直线运动，同时点Q从D点出发，以与P点相同的速度沿DA方向运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动时间为t，
（1）求线段CD的长．
（2）连接PQ交直线AC于点E，当AE：EC=1：2时，求t的值，并求出此时△PEC的面积．
（3）过Q点作垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，连接PM，
①是否存在某一时刻，使以M、P、C三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②当t=
（1）求线段CD的长．
（2）连接PQ交直线AC于点E，当AE：EC=1：2时，求t的值，并求出此时△PEC的面积．
（3）过Q点作垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N，连接PM，
①是否存在某一时刻，使以M、P、C三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②当t=
1
1
时，点P、M、D在同一直线上．（直接写出）分析：（1）过点D作DF⊥BC与F，可得四边形ABFD是正方形，然后求出DF=AB，BF=AD，再求出FC，再根据勾股定理列式进行计算即可求出CD；
（2）用t表示出AQ、CP，再根据AD∥BC求出△AQE和△CPE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算求出t的值，再求出PC的长以及点E到PC的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
（3）①先用t表示出MC、PC，然后分PC=MC，MP=MC，MP=PC三种情况，分别根据等腰三角形三线合一的性质列出方程求解即可得到相应的t值；
②用t表示出QD、PN，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到t的值．
（2）用t表示出AQ、CP，再根据AD∥BC求出△AQE和△CPE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算求出t的值，再求出PC的长以及点E到PC的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
（3）①先用t表示出MC、PC，然后分PC=MC，MP=MC，MP=PC三种情况，分别根据等腰三角形三线合一的性质列出方程求解即可得到相应的t值；
②用t表示出QD、PN，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到t的值．
解答：解：（1）
如图，过点D作DF⊥BC与F，
∵四边形ABCD是直角梯形，AB=AD=3，
∴四边形ABFD是正方形，
∴DF=AB=3，BF=AD=3，
∵点C的坐标分别为（4，0），
∴OC=4，
∴FC=BC-BF=4-3=1，
∴CD=
=
=
；
（2）∵P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴AQ=3-t，CP=4-t，
∵AD∥BC，
∴△AQE∽△CPE，
∴
=
=
，
即
=
，
解得t=2，
∴PC=BC-BP=4-2=2，
∵AE：EC=1：2，
∴点E到BC的距离为
AB=
×3=2，
∴S△PEC=
×2×2=2；
（3）①存在．
根据勾股定理，AC=
=
=5，
CN=BC-BN=4-（3-t）=1+t，
cos∠ACB=
=
，
即
=
，
解得MC=
（1+t），
PC=BC-BP=4-t，
如图1，若MP=MC，则PN=CN，
∴（3-t）-t=1+t，
解得t=
；
如图2，若PC=MC，则4-t=
（1+t），
解得t=
；
如图3，若MP=MC，过点P作PG⊥AC于G，
则cos∠ACB=
=
，
即
=
，
解得t=
；
综上所述，t为
秒或
秒或
时，以M、P、C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
②如图4，当点P、M、D在同一直线上时，
∵AD∥BC，
∴△DQM∽PNM，△ADM∽△CPM，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
∵PN=BN-BP=AQ-BP=3-t-t=3-2t，
∴
=
，
整理得，t2-10t+9=0，
解得t1=1，t2=9（舍去），
所以，t=1时，点P、M、D在同一直线上．
如图，过点D作DF⊥BC与F，∵四边形ABCD是直角梯形，AB=AD=3，
∴四边形ABFD是正方形，
∴DF=AB=3，BF=AD=3，
∵点C的坐标分别为（4，0），
∴OC=4，
∴FC=BC-BF=4-3=1，
∴CD=
| DF2+FC2 |
| 32+12 |
| 10 |
（2）∵P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴AQ=3-t，CP=4-t，
∵AD∥BC，
∴△AQE∽△CPE，
∴
| AQ |
| PC |
| AE |
| EC |
| 1 |
| 2 |
即
| 3-t |
| 4-t |
| 1 |
| 2 |
解得t=2，
∴PC=BC-BP=4-2=2，
∵AE：EC=1：2，
∴点E到BC的距离为
| 2 |
| 1+2 |
| 2 |
| 3 |
∴S△PEC=
| 1 |
| 2 |
（3）①存在．
根据勾股定理，AC=
| AB2+BC2 |
| 32+42 |
CN=BC-BN=4-（3-t）=1+t，
cos∠ACB=
| CN |
| MC |
| BC |
| AC |
即
| 1+t |
| MC |
| 4 |
| 5 |
解得MC=
| 5 |
| 4 |
PC=BC-BP=4-t，
如图1，若MP=MC，则PN=CN，
∴（3-t）-t=1+t，
解得t=
| 2 |
| 3 |
如图2，若PC=MC，则4-t=
| 5 |
| 4 |
解得t=
| 11 |
| 9 |
如图3，若MP=MC，过点P作PG⊥AC于G，
则cos∠ACB=
| CG |
| CP |
| BC |
| AC |
即
| ||||
| 4-t |
| 4 |
| 5 |
解得t=
| 103 |
| 57 |
综上所述，t为
| 2 |
| 3 |
| 11 |
| 9 |
| 103 |
| 57 |
②如图4，当点P、M、D在同一直线上时，
∵AD∥BC，∴△DQM∽PNM，△ADM∽△CPM，
∴
| DQ |
| PN |
| DM |
| PM |
| DM |
| PM |
| AD |
| CP |
∴
| DQ |
| PN |
| AD |
| CP |
∵PN=BN-BP=AQ-BP=3-t-t=3-2t，
∴
| t |
| 3-2t |
| 3 |
| 4-t |
整理得，t2-10t+9=0，
解得t1=1，t2=9（舍去），
所以，t=1时，点P、M、D在同一直线上．
点评：本题是相似形综合题，主要考查了直角梯形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，（3）①要根据等腰三角形的腰长分情况讨论，②根据两对相似三角形的过渡量
得到比例式是解题的关键．
| DM |
| PM |
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