Question

如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边0A、AB、B0作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．
（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；
（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据点P与直线l的距离d＜1分为点P在直线l的左边和右边，分别表示距离，列不等式组求范围；
（2）四边形CPBD不可能为菱形．依题意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7-3t，把t代入PA²+AC²，PC²中，看结果是否相等如果结果不相等，就不能构成菱形．设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t-a，OC=4-t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PC∥OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可．

解答：解：（1）当P在线段OA上运动时，OP=3t，AC=t，
⊙P与直线l相交时，

4-(3t+t)＜1 (3t+t)-4＜1

，
解得

3

4

＜t＜

5

4

；

（2）四边形CPBD不可能为菱形．
依题意，得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，
∵CD∥AB，
∴

CD

AB

=

OC

OA

，即

CD

3

=

4-t

4

，
解得CD=

3

4

（4-t），
由菱形的性质，得CD=PB，
即

3

4

（4-t）=7-3t，
解得t=

16

9

，
又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7-3t，当t=

16

9

时，
代入PA²+AC²=（3t-4）²+t²=

400

81

，PC²=（7-3t）²=

25

9

，
∴PA²+AC²≠PC²，就不能构成菱形．
设直线l比P点迟a秒出发，则AC=t-a，OC=4-t+a，
由CD∥AB，得CD=

3

4

（4-t+a），由CD=PB，得

3

4

（4-t+a）=7-3t，
解得t=

16-3a

9

，
PC∥OB，PC=CD，得

PC

OB

=

AP

AB

，即AB•PC=OB•AP，
3×

3

4

（4-t+a）=5×（3t-4），
解得t=

9a+116

69

，
则

16-3a

9

=

9a+116

69

，
解得a=

5

24

，即直线l比P点迟

5

24

秒出发．

点评：本题考查了直线与圆的关系，勾股定理的运用，菱形的性质．关键是根据菱形的性质，对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法，列方程求解．