在四边形ABCD中.对角线AC.BD交于点O.点P是在线段BC上任意一点.∠BPE=12∠BCA.PE交BO于点E.过点B作BF⊥PE.垂足为F.交AC于点G．(1)若ABCD为正方形.①如图(1).当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到?证明你的结论,②结合图(2)求BFPE的值,.若ABCD为菱形.记∠BCA=α.请探究并直接写出BFPE的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=

∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）若ABCD为正方形，
①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；
②结合图（2）求

的值；
（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出

的值．（用含α的式子表示）

分析：（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到，求出△BOG≌△POE即可；
（2）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF≌△MPF，推出BF=FM，即可求出答案；
（3）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF∽△MPF，得出比例式，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案．

解答：

（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，
∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中

∠GBO=∠OCE

OB=OC

∠BOG=∠COE

∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．

（2）如图2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中

∠MBN=∠NPE

NB=NP

∠MNB=∠ENP

∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=

∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵在△BPF和△MPF中

∠BPF=∠MPF

PF=PF

∠BFP=∠MFP

∴△BPF≌△MPF，
∴BF=MF，即BF=

BM，
∴BF=

PE，即

．

（3）如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，