Question

在下图中，直线l所对应的函数关系式为y=-

1

5

x+5，l与y轴交于点C，O为坐标原点．
（1）请直接写出线段OC的长；
（2）已知图中A点在x轴的正半轴上，四边形OABC为矩形，边AB与直线l相交于点D，沿直线l把△CBD折叠，点B恰好落在AC上一点E处，并且EA=1．
①试求点D的坐标；
②若⊙P的圆心在线段CD上，且⊙P既与直线AC相切，又与直线DE相交，设圆心P的横坐标为m，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线l所对应的函数关系式为y=-

1

5

x+5，则b=5，所以点C的坐标为（0，5），OC=5；
（2）①：设D点的横坐标为m，点D在直线l上，则它的纵坐标为：-

1

5

m+5由于四边形CBAO是矩形，有BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1
在Rt△OAC中，由勾股定理知，OA²+OC²=AC²，即m²+5²+（m+1）²，求解可得到m的值，从而求得D点的坐标为（12，

13

5

）；
②由于△BCD和△CDE关于直线L对称，所以⊙P与直线AC相切，与DE相交相当于与直线BC相切，与BD相交，过点P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N，作PH⊥AB，交AB于H，由题意知：只要PN＞PH即可，就可求得m的取值范围．

解答：解：（1）OC=5；

（2）①解法一：设D点的横坐标为m，由已知得，
它的纵坐标为：-

1

5

m+5
∴BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1，
在Rt△OAC中，OA²+OC²=AC²，即m²+5²=（m+1）²，
解得m=12．
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D点的坐标为(12，

13

5

)；

解法二：设D点的横坐标为m，由已知得，
它的纵坐标为：-

1

5

m+5，∴AD=-

1

5

m+5，DE=AB-AD=

1

5

m，
在Rt△ADE，EA²+ED²=AD²，即12+（

1

5

m）²=（-

1

5

m+5）²，解得m=12，
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D点的坐标为（12，

13

5

）；

解法三：设D点的横坐标为m，由已知得，它的纵坐标为：-

1

5

m+5，
在Rt△OAC和Rt△ADE中，∠AOC=∠AED=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠OAC+∠EAD=90°，
∴∠ACO=∠EAD，
∴Rt△OAC∽Rt△ADE，
∴

AC

AD

=

OC

AE

，即：

m+1

- 1 5 m+5

=

5

1

，解得m=12，
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D点的坐标为（12，

13

5

）；

②由于△BCD和△CDE关于直线L对称，
所以⊙P与直线AC相切，与DE相交相当于与直线BC相切，与BD相交，
过点P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N；作PH⊥AB，交AB于H，
由题意知：只要PN＞PH即可，
PN=MN-PM=

1

5

m，PH=12-m，即：

1

5

m＞12-m，解得m＞10，
又P在线段CD上，所以m≤12，
即m的取值范围是10＜m≤12．

点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②一次函数的图象的性质，矩形的性质，相切的概念，全等三角形的判定和性质，勾股定理求解．