Question

探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，a_n表示第n个“树型”图中“树枝”的个数．
图：
表：

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

（1）根据“图”、“表”可以归纳出a_n关于n的关系式为

 

．
若直线l₁经过点（a₁，a₂）、（a₂，a₃），求直线l₁对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点（a_n，a_n+1）都在直线l₁上．
（2）设直线l₂：y=-x+4与x轴相交于点A，与直线l₁相交于点M，双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点M，且与直线l₂相交于另一点N．
①求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线l₁、l₂．
②设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为t，直线MP与x轴相交于点Q，当t为何值时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍又是否存在t的值，使得△PMA的面积等于1？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
③在y轴上是否存在点G，使得△GMN的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求直线l₁为y=2x+1，把点（2ⁿ-1，2ⁿ⁺¹-1）代入，左式=2ⁿ⁺¹-1，右式=2（2ⁿ-1）+1=2ⁿ⁺¹-1，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（a_n，a_n+1）都在直线l₁上．
（2）①由题意，点A的坐标为（4，0），点M的坐标为（1，3）；求得双曲线为y=

3

x

（x＞0），由此得点N的坐标为（3，1）．
②由题意，点P的坐标为(t，

3

t

)当S_△MQA=2S_△MPA，即S_△MPA=S_△PQA时，P为MQ的中点，可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E，则S_△PMA=S_△MEA-S_△MPE-S_△PEA=6-

3

2

t-

9

2t

，得3t²-10t+9=0．通过此方程的解的问题可知此方程没有实数根，即不存在这样的t值，使△PMA的面积为1．
③设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小，MN为定值，要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，设过M’N的直线所对应的函数关系式为y=ax+b，得y=-

1

2

x+

5

2

，由此可求得G的坐标为(0，

5

2

)．

解答：解：（1）由a_n=2ⁿ-1可得a₁=1，a₂=3，a₃=7，
又直线l₁经过点（a₁，a₂）、（a₂，a₃），设直线l₁的解析式为y=kx+b，
把（1，3），（3，7）代入得k=2，b=1
所以直线l₁为y=2x+1，
把点（2ⁿ-1，2ⁿ⁺¹-1）代入y=2x+1，左式=2ⁿ⁺¹-1，右式=2（2ⁿ-1）+1=2ⁿ⁺¹-1，左式=右式，所以对任意的正整数n，点（a_n，a_n+1）都在直线l₁上．

（2）①y=-x+4与x轴相交于点A，所以y=0，x=4，即点A的坐标为（4，0），
因为点M是L₂与L₁的交点，联立

y=-x+4 y=2x+1

，解得x=1，y=3，
所以点M的坐标为（1，3）；
又因为双曲线y=

k

x

（x＞0）经过点M，所以k=3
所以双曲线为y=

3

x

（x＞0），
因为点N是双曲线与直线是L₂的交点，联立

y=-x+4 y= 3 x

，解得x=3，y=1
由此得点N的坐标为（3，1）．
②由题意，点P的坐标为(t，

3

t

)
当S_△MQA=2S_△MPA，即S_△MPA=S_△PQA时，P为MQ的中点，
可得t=2时，△MQA的面积等于△PMA的面积的2倍，过M作ME⊥x轴于E，
则S_△PMA=S_△MEA-S_△MPE-S_△PEA=6-

3

2

t-

9

2t

，得3t²-10t+9=0，
用配方法或根的判别式法可以确定此方程没有实数根．
∴不存在这样的t值，使△PMA的面积为1．
③由题意，点M关于y轴的对称点M’的坐标为（-1，3），
设在y轴上存在点G，使得△GMN的周长最小，
∵MN为定值，
∴要使△GMN的周长最小，只要GM+GN的值最小，由平面几何知识可知，G为M’N与y轴的交点，
设过M’N的直线所对应的函数关系式为y=ax+b，则

3a+b=1 -a+b=3

，
得

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

由此可求得G的坐标为(0，

5

2

)．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．