Question

【题目】在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE=AB，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为______．
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．
应用：如图②，若AB=2，AD=5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．

Answer 1

【答案】解：①AF=DE；
②AF=DE，
证明：∵∠A=∠FEC=∠D=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°
∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AEF=∠DCE，
∵AB=CD,AE=AB
∴AE=CD
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=DE．
③∵△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=AB=2，AF=DE=3，FB=FA﹣AB=1，
∵BG∥AD，
∴=，
∴BG=．
【解析】①由角和边的转化，从而根据题意证明△AEF≌△DCE即可；
②证明方法与①相同可以证明结论；
③根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算得到答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．