题目内容
如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H、动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，图②所示为点P在线段AB上运动时，△PAC的面积T与运动时间t之间关系的图象．（1）求点A的坐标直线AC的解析式；
（2）求出点P在剩余时间内运动时，△PAC的面积T与运动时间t之间关系，并在图②中画出相应的图象；
（3）连接BM，如图③，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（4）当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
分析：（1）过C点作AB的高，与AB的延长线交于D点，根据函数图象可求菱形的边长AB，结合面积求菱形的高CD，由勾股定理求DH，从而可得AH，再表示A点坐标，利用“两点法”求直线AC的解析式；
（2）根据函数图象可直接写出，△PAC的面积T与运动时间t之间关系式；
（3）由点P分别在AB之间，BC之间，求三角形的底和高，再表示面积；
（4）利用互余关系寻找角的相等关系，再确定P点的位置及三角函数值．
（2）根据函数图象可直接写出，△PAC的面积T与运动时间t之间关系式；
（3）由点P分别在AB之间，BC之间，求三角形的底和高，再表示面积；
（4）利用互余关系寻找角的相等关系，再确定P点的位置及三角函数值．
解答：
解：（1）过C点作AB的高，与AB的延长线交于D点，
由右图可知，运动时间为2.5秒，AP=2.5×2=5，
又面积为10，所以，CD=
=4，
在Rt△CBD中，BD=
=3
故AH=AB-BH=OC-BH=DH-BH=BD=3
∴A（-3，4）；
将A（-3，4），C（5，0）代入直线y=kx+b中，
得AC：y=-
x+
；
（2）解：将（2.5，10），（5，0）代入T=kt+b，
，
解得：k=-4，b=20，
∴T=20-4t
如图②所示
（3）当点P在AB之间时，S=
×（4-
）×（5-2t）=
-
t（0≤t≤
），
当点P在BC之间时，S=
×
×（2t-5）=
t-
（
＜t≤5）；
（4）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=
，
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴
=
=
，
在Rt△AEC中，AC=
=
=4
，
∴AQ=
QC=
，
在Rt△OHB中，OB=
=
=2
，
∵AC⊥OB，OK=KB AK=CK，
∴OK=
AK=KC=2
∴QK=AK-AQ=
∴tan∠OQC=
=
，
当P点在BC边上运动时，如图（3）
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴
=
即
=
，
∴BP=
，
∴t=
，
∴PC=BC-BP=5-
=
．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴
=
，
∴
=
，
CQ=
AC=
，
∴QK=KC-CQ=
∵OK=
，∴tan∠OQK=
=1．
综上所述，当t=
时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为
．
当t=
时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．
解：（1）过C点作AB的高，与AB的延长线交于D点，由右图可知，运动时间为2.5秒，AP=2.5×2=5，
又面积为10，所以，CD=
| 2×10 |
| 5 |
在Rt△CBD中，BD=
| BC2-CD2 |
故AH=AB-BH=OC-BH=DH-BH=BD=3
∴A（-3，4）；
将A（-3，4），C（5，0）代入直线y=kx+b中，
得AC：y=-
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）解：将（2.5，10），（5，0）代入T=kt+b，
|
解得：k=-4，b=20，
∴T=20-4t
如图②所示
（3）当点P在AB之间时，S=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
当点P在BC之间时，S=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（4）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=
| 1 |
| 2 |
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴
| AQ |
| CQ |
| AP |
| CO |
| 1 |
| 5 |
在Rt△AEC中，AC=
| AE2+EC2 |
| 42+82 |
| 5 |
∴AQ=
2
| ||
| 3 |
10
| ||
| 3 |
在Rt△OHB中，OB=
| HB2+HO2 |
| 22+42 |
| 5 |
∵AC⊥OB，OK=KB AK=CK，
∴OK=
| 5 |
| 5 |
4
| ||
| 3 |
∴tan∠OQC=
| OK |
| QK |
| 3 |
| 4 |
当P点在BC边上运动时，如图（3）
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴
| BM |
| BP |
| HM |
| HB |
| ||
| BP |
| ||
| 2 |
∴BP=
| 10 |
| 3 |
∴t=
| 25 |
| 6 |
∴PC=BC-BP=5-
| 10 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴
| CQ |
| AQ |
| CP |
| AO |
∴
| CQ |
| AQ |
| 1 |
| 3 |
CQ=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
∴QK=KC-CQ=
| 5 |
∵OK=
| 5 |
| OK |
| KQ |
综上所述，当t=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
当t=
| 25 |
| 6 |
点评：本题考查了直角坐标系中，特殊图形的性质的运用，点的坐标求法，三角形的面积表示方法．
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），