题目内容
【题目】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明；
（2）当点P在线段AB上且不与点Q重合时，如图2，（1）的结论是否成立？并证明；
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，如图3，此时（1）的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
【答案】
（1）
解：QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴∠BFQ=∠AEQ=90°，
在△BFQ和△AEQ中 
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
（2）
解：中的结论仍然成立，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中， 
，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）
解：（1）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中， 
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
【解析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可；（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可
【考点精析】利用三角形的“三线”对题目进行判断即可得到答案，需要熟知1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内．
