Question

如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M。
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形；如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3） 
        ∴，解得
        ∴二次函数的解析式为；
（2），∴M（1，4）
         设直线MB的解析式为，则有，解得
         ∴直线MB的解析式为
         ∵PQ⊥轴，OQ=m，∴点P的坐标为（m，-2m+6） 
        
                    
（3）线段BM上存在点N 使△NMC为等腰三角形；
       ，
      
      ①当CM=NC时，，解得（舍去）
          此时N
      ②当CM=MN时，
         解得（舍去），此时N
    ③当CN=MN时，
       解得x=2，此时N （2，2）