Question

【题目】已知抛物线=（≠0）与轴交于AB两点,与轴交于C点,其对称轴为=1,且A（-1,0）C（0,2）.

（1）直接写出该抛物线的解析式;

（2）P是对称轴上一点,△PAC的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标;

（3）设对称轴与轴交于点H,点D为线段CH上的一动点（不与点CH重合）.点P是（2）中所求的点.过点D作DE∥PC交轴于点E.连接PDPE.若CD的长为,△PDE的面积为S,求S与之间的函数关系式,试说明S是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S取得的最值及此时的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) =-++2;(2) P（1,）;(3)见解析.

【解析】分析：

（1）由已知条件易得点B的坐标为（3，0），这样结合点A、C的坐标即可求得抛物线的解析式；

（2）由题意可知，AC长度是固定值，点A和点B关于直线x=1对称，由此可得连接BC交直线x=1于点P，此时△PAC的周长最小，求得直线BC的解析式，即可求得此时点P的坐标；

（3）如图2，画出符合题意的图形，过点D作DF⊥y轴于点F，交对称轴x=1于点N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽Rt△CHO，可将CF、OF和FD用含m的代数式表达出来，从而可表达出点D和点N的坐标，再用待定系数法求得用含m的代数式表达的DE的解析式，即可表达出点E的坐标和点Q的坐标，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S与m间的函数关系式，将所得解析式化简、配方即可得到所求答案.

详解：

（1）∵抛物线=（≠0）与轴交于AB两点,其对称轴为=1,且A（-1,0），

∴点B的坐标为（3，0），

∴可设抛物线解析式为：，

∵抛物线和y轴交于点C（0，2），

∴，解得：，

∴，即；

（2）△PAC的周长有最小值，连结ACBC，

∵AC的长度一定,

∴要使△PAC的周长最小,就是使PA+PC最小.

∵点A关于对称轴=1的对称点是B点,

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P（如图2）,

设直线BC的表达为:=,则有

,解得,∴:=-+2,

把=1代入,得=,

即点P的坐标为P（1,）,

∴△PAC的周长取得最小值,取得最小值时点P的坐标为P（1,）；

（3）如图2，设DE对称轴x=1于点Q,

在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.

过点D作DF⊥轴于点F，交对称轴=1于点N，

∵Rt△CDF∽Rt△CHO，

∴，

∴CF===，OF=CO-CF=2-；

同样： ，FD===，

∴点D的坐标为D（,2-），

∴N（1，2-）.

∵DE∥BC，

∴可设（过点DE的直线）:=-+，

把D点坐标代入其中，得- +=2-，

解得=2-，

∴：=-+2-，

点E的纵坐标为0，代入其中，解得=3-，

∴E（3-，0）.

∵点Q在对称轴=1上，把=1代入中，解得=-，

∴Q（1,-）.

PQ=-（-）=,DN=1-，

EH=3--1=2-.

S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH

=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,

化简得S=-+,

可知S是关于的二次函数.

S存在最大值.

配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值为,

取得最大值时的值为:=.